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2022-11-13
目录

布尔代数

# 布尔代数

布尔运算,使得计算机开始有了处理逻辑的能力。

  ‍

# 布尔代数

莱布尼茨坚信,人类的思想和数字一样可以化繁为简——所有思想都可以分解为数量不多的简单思想。这些简单思想通过一些既定规律,可以组成任意的复杂思想,就像数学运算一样。当两个人发生了争执,他们可以把自己的观点通过数学计算的方式梳理出来,谁对谁错就一目了然了。

为了“计算”思想,莱布尼茨阐述了后来被称为合取(conjunction)、析取(disjunction)、否定(negation)等的逻辑运算规则,成为数理逻辑(mathematical logic)最早的探索者之一。

但逻辑运算在数学上的系统性定义,要等到19世纪由英国数学家乔治·布尔(George Boole)首次提出。布尔分别在1847年和1854年发表了著名的《逻辑的数学分析》和《思维规律的研究》,将数学中的代数方法引入到逻辑学中,被后人称为布尔代数(Boolean algebra),逻辑运算因而也叫布尔运算。

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‍

下面通过一个例子介绍简单一下逻辑运算,假设有X、Y两个命题。

  • X:乔治·布尔发明了二进制。
  • Y:乔治·布尔创立了布尔代数。

显然,X命题是错的,Y命题是对的。在逻辑学中,我们称:X命题为假,Y命题为真。如果用连词将X、Y两句话连起来说呢?

比如:乔治·布尔发明了二进制且创立了布尔代数。这句话是错的,即“X且Y”的组合命题为假。

再比如:乔治·布尔发明了二进制或创立了布尔代数。这句话是对的,即“X或Y”的组合命题为真。

这就是逻辑学中的合取与析取,也称逻辑与和逻辑或。

当然,也有对单个命题的逻辑运算,比如:乔治·布尔没有发明二进制。这句话是对的,即“非X”为真。

这就是逻辑学中的否定,也称逻辑非。

与、或、非是3种最基本、最常用的逻辑运算。将它们组合起来,还可以形成与非、或非、异或、同或等复杂逻辑运算。历史上,布尔和许多其他逻辑学家曾使用过各种层出不穷的符号来表示它们,如今,我们常用下表中的表达形式。

逻辑运算 英文缩写 表达式
与
AND X · Y
或 OR X + Y
非 NOT $\overline{X}$​
与非 NAND $\overline{X · Y}$​
或非 NOR $\overline{X + Y}$​
异或 XOR X $\bigoplus$ Y
同或 XNOR X $\bigodot$ Y

​

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其中,异或和同或其实意如其名,只是表达式有点抽象,它们的展开式十分容易理解:

X $\bigoplus$ Y = X · $\overline{Y}$ + $\overline{X}$ · Y

X $\bigodot$ Y = X · Y + $\overline{X}$ · $\overline{Y}$

而逻辑命题的真假像极了二进制中的1和0,布尔代数自然而然选择用1表示真、0表示假。

经过简单的逻辑推演,我们就能得到这些逻辑运算在所有情况下的结果:

X Y 与 或 非X 与非 或非 异或 同或
0 0 0 0 1 1 1 0 1
0 1 0 1 1 1 0 1 0
1 0 0 1 0 1 0 1 0
1 1 1 1 0 0 0 0 1

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‍

‍

不难发现,逻辑运算和二进制运算有着极高的一致性,除了有点违反直觉的1+1=1:

逻辑与:

  • 0·0=0
  • 0·1=0
  • 1·1=1

逻辑或:

  • 0+0=0
  • 0+1=1
  • 1+1=1

更巧合的是,逻辑运算和数学运算一样满足交换律、结合律和分配律等各种运算规则,比如:

  • X·Y=Y·X
  • X+Y=Y+X
  • X·(Y·Z)=(X·Y)·Z
  • X+(Y+Z)=(X+Y)+Z
  • (X+Y)·Z=X·Z+Y·Z

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上次更新: 2023/3/17 09:22:37
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