20.数字与进制

理解进制，是理解计算机运算规则的基础

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数字的产生

文明萌芽之前，人类的祖先还没有「数」的概念。然而人类终究是要与较大的数打交道的，除了每天的吃喝拉撒，祖先们渐渐需要面对「打到了多少猎物」、「部落有多少人口」这类简单的统计问题。他们开始动用身上的各种部位，例如手指与脚趾。后面也曾用石子、结绳计数等方式。

假定某个人有 4 只猫，他可能画 4 只猫作为记录。

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当然，每增加一只猫，就画一只猫，可能太麻烦了；我们能不能用一条竖线来表示呢？可以的，例如：| | | | 表示 4 只猫

但若某人有 27 只猫，用画 27 个竖线来表示猫的只数的方法就显得很荒谬了：| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |

于是，古人们想到得有一种更好的办法才行，进制就这样诞生了。我们日常生活中都是用阿拉伯数字，当一位数表示不了的情况下，我们就会进位，也就是从一位数变成两位数，再进位到三位数，以此类推。这个进位规则可以 理解为“逢十进一”。

一个数字依据位置的不同代表不同的数量。数字的位置和数字的大小一样，都是很重要的。严谨地说，数字的位置更重要，100 和 1000000 中都只有一个 1，但我们知道一百万比一百要大得多。

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什么是数字系统

到了现代，我们经常用阿拉伯数字来表示数量，例如一辆车，我们用 1 表示，两辆车，我们用 2 表示。但其实，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 这十个数字，都是符号而已。符号不仅仅可以用于表示数量，也可表示事物。例如我们说“3 号选手”， 这里的 3 就是指某个人；又例如 2022 年 3 月 19 号，这里的 3 指的是 3 月。

有没其他符号可以表示 ”数量 2“ 这个概念呢？ 有的。比如在罗马数字中，1~20 分别为：Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ、Ⅸ、Ⅹ、Ⅺ、Ⅻ、XIII、XIV、XV、XVI、XVII、XVIII、XIX、XX。也就是说，对于数量的表示而言，我们用什么符号（阿拉伯数字、罗马数字）都是可以的，只要人们能理解它。比如完全可以约定，J 是 11，Q 是 12， K 是 13（在扑克牌中有用到）。

在国内，对数字的表示也可以用中文，例如壹贰叁肆伍陆柒捌玖，纸币上就有写明。

在法国，不同数字的表示如下:

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法语数字单词表（图片来自网络）

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什么是标准数字系统

如果各国都采用各自的数字系统，那么国家之间沟通数字是很困难的。例如我们可能看不懂法国的单词表，法国人也看不懂我们的壹贰叁肆伍陆柒捌玖，有没这样一个数字系统，全球各地通用的呢？

有，就是阿拉伯数字，在全世界大部分范围内，阿拉伯数字都是被人们所知道的。也就是说，阿拉伯数字是一种标准。

标准的好处在于，全世界的人都知道，不用担心引起误解。比如在罗马数字中，Ⅹ 代表数字 10，但如果不事先说明这是罗马数字，人们也可能认为这是一个英文字母 X。

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数字的其他含义

数字并不仅仅用于做计算。例如：

• 在长跑比赛时，为了识别运动员，通常会给每一位运动员编一个号码，显然，这些号码仅仅表示不同的运动员而已，没有数量大小的含义。
• 电话号码：仅仅是一串数字，也不用于计算
• 邮政编号：一个区域的编号，也不用于计算
• ...

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十进制介绍

英文为 Decimal System，缩写 Dec 或 D

十进制中，不同位置的数字，代表的值是不一样的，例如下面的 1 含义各不相同：

• 12 = 1×10 + 2，这里的 1 代表 10
• 120 = 1×100 + 2×10，这里的 1 代表 10 × 10 = 100
• 1200 = 1×1000 + 2×100，这里的 1 代表 10 ×10 ×10 = 1000

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每个 1 的乘数是不一样的，乘数也可以理解为权重（权值）。12 里的 1，权值是 10， 120 里的 1，权值是 10， 1200 里的 1，权值是 10。注意，个位数的值可以看成是 个位数 × 10 的 0 次方，因为任何数的 0 次方都等于 1，所以也可以写成：

• 12 = 1×10 的 1 次方 + 2×10 的 0 次方
• 120 = 1×10 的 2 次方 + 2×10 的 1 次方
• 1200 = 1×10 的 3 次方 + 2×10 的 2 次方

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越高位的数字，权重越大。每个乘数都比右边大十倍（也就是乘以十）：

千位数	百位数	十位数	个位数
1000（10 的 3 次方）	100（10 的 3 次方）	10（10 的 1 次方）	1（10 的 0 次方）

以此类推，一万和一百万，乘数也不同，但都是 10 的次方。

注意，小数部分也是这样，只不过是 10 的 负 N 次方：0.75 = 7×10 的负 1 次方 + 5×10 的负 2 次方

在十进制中，十也称为基数。

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八进制介绍

八进制的英文：Octal，缩写为 O 或者 o （英文字母的 o）

如果，如果人类像卡通人物那样，每只手上只有 4 个手指会怎样呢？我们可能就不是用十进制，而是八进制。当要表示超过 “八”这个概念的数字，我们需要进位，逢八进一。例如：

要表示的数量	数字
一	1
二	2
三	3
....	...
七	7
八	10 （逢八进一）

注意，这里的每个数权重不一样了：

• [12] 八进制 = 1×8 + 2 , 这里的 1 代表 8
• [122] 八进制 = 1×64 + 2×8 + 2 =[82] 十进制, 这里的 1 代表 8 × 8 = 64

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在 [122] 八进制 中，从左到右每个位的乘数分别是 64，8，1 ，每个乘数都比右边大八倍（也就是乘以八）。

除了十进制，还有十六进制、八进制和二进制等等常用的进制，在人类早期文明历史中，玛雅人采用的还是二十进制。

在八进制里，基数是八，其他进制的基数同理。为了表示是八进制的数字，我们可以用括号将数字包住，并且用下标表明这是几进制，例如八进制的 12： (12)₈

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二进制介绍

二进制的英文：Binary，缩写为 B。

二进制，是计算机内采用的标准数字系统。

而最简单的进制系统中，无疑是二进制，逢二进一，也是计算机中采用的进制。可以说，计算机只认识二进制，只处理二进制，像我们看到的文本、图像、视频、各种软件等等，最终都会转化为二进制让计算机处理。

要表示的数量	数字
一个	1
二个	10 = 1+1 （逢二进一）
三个	11 = 10 +1
四个	100 = 11+1
....	...
七个	111
八个	1000 = 111 + 1

例如 [111] 二进制中，每位数的乘数也不一样了，每个乘数是右侧乘数的两倍。二进制的 111 = 十进制中的 1×4 + 1×2 + 1×1， 也就是说二进制的 111 等于十进制的 7。

111 = 1×4 + 1×2 + 1×1 = 1×2 的 2 次方 + 1×2 的 1 次方 + 1×2 的 0 次方

当二进制的位数很多时，一连串看起来有点头皮发麻，所以一般每隔 4 为就用一个空格分割。

同理，十进制也有这样的习惯，例如每隔 3 位用逗号分割，这叫三位分节法，例如 1,000 1,000,000

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拿二进制数 1011 0110 举例，我们可以用相同的方法转成十进制。

1011 0111 (二进制) =
1x128 + 0x64 + 1x32 + 1x16 
+0x 8 + 1x4  + 1x2 + 0x1
= 182 (十进制)

示意图：

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二进制的加减乘除例子：

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从上面的例子中可以看到二进制算术运算的两个特点：

• 二进制数的乘法运算可以通过若干次的“被乘数（或零）左移 1 位”和“被乘数（或零）与部分积相加”两种操作完成
• 二进制数的除法运算能通过若干次的“除数右移 1 位”和“从被除数或余数中减去除数”两种操作完成

如果我们再能设法将减法操作转化为某种形式的加法操作，那么加、减、乘、除运算就全部可以用“移位”和“相加”两种操作实现了。利用上述特点能使运算电路的结构大为简化。这也是数字电路中普遍采用二进制算术运算的重要原因之一。 ‍

十六进制

十六进制的英文：Hexadecimal，缩写为 X。

如果说要用超过十进制的进制，例如十六进制，需要一个符号来代表 “十” 这个概念，人们用字母来表示 “十 到 十五” 之间的数：

要表示的数量	数字
一个	1
二个	2
三个	3
四个	4
....	5
六个	6
七个	7
八个	8
九个	9
十个	A
十一个	B
十二个	C
十三个	D
十四个	E
十五个	F
十六个	G

也就是说 [A] 十六进制 = [10] 十进制

[10]十六进制 = 1×16 + 0 = [16] 十进制，进位规则是逢十六进一。

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不同进制的对照表

十进制	二进制	八进制	十六进制
0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F

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各个进制的表示前缀

我们之前为了表示是八进制的数字，我们可以用括号将数字包住，并且用下标表明这是几进制，例如八进制的 12： (12)₈

也可以有这样的表示方法：给数字加个前缀，取自各进制的英文首字母（大小写均可）：

进制基数(radix)	前缀	示例
二进制 binary	0b 0B	0b11 = 2+1=3
八进制 octal	0o 0O	0o11 = 8+1=9
十进制 decimal	无前缀	11 = 11
十六进制 hex	0x 0X	0x11

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进制转换

由于多种进制的存在，它们之间的相互转换是经常会遇到的事情，也请读者务必掌握。

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二进制与十进制

二进制转十进制：只需将每位数乘以对应的乘数，再将结果相加即可。

例如 (1011.01)₂ = 1×2³ + 0×2² + 1×2¹ + 0×2^-1 + 1×2^-2 = (11.25)₁₀

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十进制转二进制：采用“除 2 取余，逆序排列”法：

1. 首先用 2 整除一个十进制整数，得到一个商和余数
2. 然后再用 2 去除得到的商，又会得到一个商和余数
3. 重复操作，一直到商为小于 1 时为止
4. 然后将得到的所有余数全部排列起来，再将它反过来（逆序排列）

举例：将 (173) 转为二进制过程如下

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原理是什么呢？ 我们自己可以推理下。

前面我们知道二进制数转十进制数是怎么转换的：

• (1011.01)₂ = 1×2³ + 0×2² + 1×2¹ + 1×2⁰ + 0×2^-1 + 1×2^-2 = 11.25
• 一个通用公式：假设十进制整数为 (S) ₁₀，其转换为二进制数，值为 (k_n k_n-1 ………… k₀)₂ ，我们可以列出这样的公式： (k_n × 2ⁿ + k_n-1 ×2^n-1 + ………… + k⁰ × 2⁰ ) = (S) ₁₀
• 我们将等号两边同时除以 2，可以得到商为 (k_n × 2^n-1 + k_n-1 ×2^n-2 + ………… + k₁)₂，余数为 k₀ 因为 1 个二进制数最多表示 1，除以 2 肯定是除不尽的，会有余数），也就是说，我们计算出了第一个二进制数是 k₀；
• 再次将等号两边同时除以 2，可以得到余数 k₁
• …………以此类推，就可以求得二进制数的每一位了！

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小数转二进制：采用"乘 2 取整，顺序排列"法：

1. 用 2 乘十进制小数，可以得到积，将积的整数部分取出
2. 再用 2 乘余下的小数部分，又得到一个积，再将积的整数部分取出
3. 重复操作，直到积中的小数部分为零，此时 0 或 1 为二进制的最后一位，或者达到所要求的精度为止

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例如，将 0.125 转换为二进制，步骤如下：

0.125 * 2 = 0.25 ------0

0.25 * 2 = 0.5 ------0

0.5 * 2 = 1.0 ------1

当小数部分为 0 就可以停止乘 2 了，然后正序排序就构成了二进制的小数部分：0.001

其原理，和十进制转二进制的原理一样。

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特别注意，不是所有的十进制数都能转化为有限位二进制数的。举个例子，十进制小数 0.7，转化为二进制小数是：0.1011001100110......，是无限循环小数，循环节是 0110。

那些能分解为以 (1/2)^n 为单位的十进制小数，才可以转化为有限位数的二进制小数。

如十进制数：13/16=0.8125，它可以是拆成：13/16=1/2+1/4+1/16，或者直接可以看作是 13 个 1/16 所组成。而 1/2，1/4，1/16 这些数都是符合 (1/2)^n 形式的数。

如果又有整数又有小数：将整数部分和小数部分先单独转为二进制，再合在一起就可以了。

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二进制与十六进制

由于 4 位二进制数恰好有 16 个状态，而把这 4 位二进制数看作一个整体时，它的进位输出又正好是逢十六进一，所以只要从低位到高位，将整数部分每 4 位二进制数分为一组，并代之以等值的十六进制数。

同时从高位到低位将小数部分的每 4 位数分为一组并代之以等值的十六进制数，即可得到对应的十六进制数。

例如，将二进制数（01011110.10110010）化为十六进制数时可得：

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若二进制数整数部分最高一组不足 4 位时，用 0 补足 4 位：小数部分最低一组不足 4 位时，也需用 0 补足 4 位。

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十六进制转二进制，只需反过来，每一位十六进制数用等值的 4 位二进制数代替就行。例如，将 (8FA.C6) 转为二进制：

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二进制与八进制

与十六进制和二进制，互相转换基本一样。

在将二进制数转换为八进制数时，只要将二进制数的整数部分，从低位到高位每 3 位分为一组，并代之以等值的八进制数，同时将小数部分从高位到低位每 3 位分为一组并代之以等值的八进制数就可以了。

二进制数最高一组不足 3 位或小数部分最低一组不足 3 位时，仍需以 0 补足 3 位。

例如，若将二进制数 (011110.010111) 化为八进制数，则得到：

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反之，若将八进制数转换为二进制数，则只要将八进制数的每一位代之以等值的 3 位二进制数即可。例如，将 (52.43) 转换为二进制数时，得到：

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其他进制

8 进制转 10 进制、16 进制转 10 进制：就只能按权重展开后，相加得到十进制了。

10 进制转 8 进制、10 进制转 16 进制，可以先转为 2 进制，再分组转换。

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进制转换工具

如果我们已经知道如何转换进制了，当数字很大的时候，自己转换就是浪费时间，并且容易出错，因此，我们可以借住计算机帮助我们转换。

win10 自带的计算机，按下快捷键 win + R，输入 calc 然后回车。然后菜单栏里选择程序员：

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练习

1. 手动实现各进制下的转换
2. 自行实现在各进制下的加减乘除
3. 用计数器验证结果

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