10.图灵机：计算机世界的理论基石

讲讲图灵对计算机的贡献

‍‍ ‍

图灵机发明的背景

阿兰·马蒂森·图灵 （Alan Mathison Turing）于 1921 年出生在伦敦， 从小就表现出惊人数学和科学能力。

​​

艾伦·麦席森·图灵（Alan Mathison Turing），1912-1954，英国数学家、计算机学家、逻辑学家、密码学家、哲学家、理论生物学家。（图片来自维基百科） ‍ 他对计算机科学的建树始于 1935 年，当时他是剑桥国王学院的硕士生，他开始解决德国数学家 大卫·希尔伯特提出的问题： Entscheidungsproblem （德语），即“可判定性问题”: 是否存在一种算法，输入正式逻辑语句，输出准确的"是"或"否"答案？

如果这样的算法存在， 可以回答比如 "是否有一个数大于所有数？" （虽然我们知道答案：没有）。但有很多其他非常难以解决的数学问题，我们想知道答案，因为如果我们知道是没有解决方法的，就不用花时间去尝试解决了。

美国数学家阿隆佐·丘奇， 于 1935 年首先提出解决方法，开发了一个叫“Lambda 算子”的数学表达系统，证明了这样的算法不存在。虽然“Lambda 算子”能表示任何计算，但它使用的数学技巧难以理解和使用。

同时在大西洋另一边，阿兰·图灵 想出了自己的办法来解决"可判定性问题"，提出了一种假想的计算机，现在叫图灵机（Turing Machines），图灵机提供了简单又强大的数学计算模型。

虽然用的数学不一样，但图灵机的计算能力和 Lambda 算子一样，同时因为图灵机更简单，所以在新兴的计算机领域更受欢迎。 ‍

什么是图灵机

图灵机是图灵受打字机的启发而假想出来的一台理论计算设备。假设我们有

• 无限长的纸带，纸带可以存储符号
• 一个状态变量，保存当前状态
• 一个读写头，可以读取和写入 纸带上的符号。
• 一组规则，描述机器做什么。规则是根据当前状态 + 读写头看到的符号，决定机器做什么，结果可能是在纸带写入一个符号，或改变状态，或把读写头移动一格，或执行这些动作的组合。 ‍ ​ ‍

为了更好理解，我们举一个例子：让图灵机读一个以零结尾的字符串，并计算 1 的出现次数是不是偶数。如果是，在纸带上写一个 1；如果不是，在纸带上写一个 0。

首先要定义“图灵机”的规则：

• 机器的初始状态：由于还没开始计算，当前的 1 的出现次数是 0，是偶数
• 如果当前状态是"偶数", 当前符号是 1，那么把状态更新为"奇数"，把读写头向右移动
• 如果当前状态是"奇数", 当前符号是 1，那么把状态更新为"偶数"，把读写头向右移动
• 如果当前状态为偶数，当前符号是 0，意味着到了字符串结尾，那么在纸带上写一个 1，并且把状态改成 停机(halt)，状态改为"停机" 是因为图灵机已完成计算
• 如果当前状态为奇数，当前符号是 0，意味着到了字符串结尾，那么在纸带上写一个 0，并且把状态改成 停机(halt)，状态改为"停机" 是因为图灵机已完成计算 ‍ 定义好了起始状态 + 规则，就像写好了程序，可以开始输入了。假设把"1 1 0"放在纸带上，有两个 1，是偶数。注意，规则只让读写头向右移动，其他部分无关紧要，为了简单所以留空。

​

"图灵机"准备好了，开始！机器起始状态为"偶数"，看到的第一个数是 1，符合最上面那条规则，所以执行对应的步骤，把状态更新到"奇数"， 读写头向右移动一格：

​

然后又看到 1, 但机器状态是"奇数"，所以执行第三条规则，使机器状态变回"偶数"，读写头向右移动一格：

​

最后看到 0，并且机器状态是 偶数，所以执行第二条规则，在纸带上写 1，表示"真" 的确有偶数个 1，然后机器停机。

这就是图灵机的原理，很简单对吧？你可能觉得“有什么大不了的”？

图灵证明了：这个简单假想机器，如果有足够时间和内存，可以执行任何计算。它是一台通用计算机，刚才的程序就是个简单例子，只要有足够的规则，状态和纸带可以创造任何东西，浏览器，魔兽世界，任何东西！当然这样做效率很低，但理论上可行，所以图灵机是很强大的计算模型。

事实上，就可计算和不可计算而言，没有计算机比图灵机更强大，和图灵机一样强大的，叫 "图灵完备"。每个现代计算系统 比如笔记本电脑，智能手机，甚至微波炉和恒温器内部的小电脑，都是"图灵完备"的。

为了回答可判定性问题，他把图灵机用于一个有趣计算问题："停机问题“。

停机问题

在试想一下，在有些情况下，一台图灵机如果长时间没有输出结果，那么它很可能陷入了死循环或永无止境的计算中。这是我们不愿看到的，因为机器可能运行 1 分钟后停机，也可能运行 10 天半个月甚至几十年才停机，亦或者永远也不会停机，这个很难靠人为判断。

说人话：如果一个数学问题是没有解的，但花了 10 天半个月甚至几十年才发现是没有解决办法，或者永远都没有解决办法，那么就白白花费了很多时间。 ‍ 假设我们构建出一台图灵机 H，它接收其他图灵机及其输入信息作为输入，并能够判定其是否会停机，就解决了上面的烦恼——构建这样的机器难度虽大，但理论上是可行的。

这就是著名的停机问题（halting problem）。

令 H 表现如下图所示，如果其判定对象会停机则输出 1，反之输出 0。

​​

图灵机H运行流程

我们再构建一台图灵机 G，其运行流程如下图所示。如果 H 输出 1，说明 G 会停机，但事实上它将陷入循环；如果 H 输出 0，说明 G 不会停机，但事实上它将停机。

​​

图灵机G运行流程 ‍ 因此，不存在一台图灵机，可以判定任意图灵机是否会停机。

听起来可能有点绕，其实可以理解为，G 就是故意针对图灵机 H 的。你认为我是不永久的，我就一直永久；如果你认为我是永久的，我就退出；也就是说，你是无法判断我是否会停机的。这说明了不存在这样的图灵机，能够判断停机问题。

更多可以参考如下博客：

如何通俗地解释停机问题（Halting Problem）？https://www.zhihu.com/question/20081359/answer/22043224

停机问题、Chaitin 常数与万能证明方法：http://www.matrix67.com/blog/archives/901

深远影响

图灵的工作参透了数学和计算机的本质关系——计算机是为解决数学问题而诞生的，却又基于数学，因而数学自身的极限也便框定了计算机的能力范围。

图灵虽然证明了没有任何机器可以解决所有数学问题，却也证明了机器可以完成所有人类能完成的计算工作，从如今的应用看来，后一个结论的意义重大得多。

如今的所有通用计算机都是图灵机的一种实现，两者的能力是等价的。当一个计算系统可以模拟任意图灵机（或者说通用图灵机）时，我们称其是图灵完备的（Turing complete）；当一个图灵完备的系统可以被图灵机模拟时，我们称其是图灵等效的（Turing equivalent）。

图灵完备和图灵等效成为衡量计算机和编程语言能力的基础指标，如今几乎所有的编程语言也都是图灵完备的，这意味着它们可以相互取代，一款语言能写出的程序用另一款也照样可以实现。